Las cónicas
Se denomina sección cónica (o
simplemente cónica) a todas las curvas intersección entre un cono y un
plano; si dicho plano no pasa por el vértice, se obtienen las cónicas
propiamente dichas. Se clasifican en tres tipos: elipse,
parábola e hipérbola. un cono circular recto de dos
hojas con un plano que no pasa por su vértice
De acuerdo al ángulo y el lugar de la
intersección es posible obtener circulos, hiperbolas , elipses o parabolas.
Cuando el plano solo toca uno de los mantos del cono y no es paralelo a una de
sus aristas se obtiene una Elipse. Cuando el plano corta los dos mantos del
cono se obtiene una hiperbola. Cuando el plano que corta es paralelo a una de
las aristas del cono se obtiene una parábola.
Aplicaciones
Las curvas cónicas son importantes en astronomía: dos cuerpos masivos que interactúan según la ley de gravitación universal,
sus trayectorias describen secciones cónicas si su centro de masa se considera
en reposo. Si están relativamente próximas describirán elipses, si se alejan
demasiado describirán hipérbolas o parábolas.
También son importantes en aerodinámica y en su aplicación industrial, ya que permiten ser repetidas por medios mecánicos
con gran exactitud, logrando superficies, formas y curvas perfectas.
Historia
El
descubrimiento de las secciones cónicas estuvo íntimamente ligado a uno de los
tres problemas clásicos de la geometría griega, la duplicación del cubo o
problema de Delos.
"...la
peste se llevo una cuarta parte de la población ateniense y la profunda
impresión que produjo esta catástrofe fue probablemente el origen del segundo
problema..."
"...Se
envió una delegación al oráculo de Apolo en Delos, para preguntar cómo podría
conjurarse la peste, a lo que el oráculo contesto que era necesario duplicar el
altar cúbico dedicado a Apolo. Al parecer los atenienses duplicaron las
dimensiones del altar, pero esto no sirvió para detener la peste, obviamente
habían aumentado ocho veces su volumen en lugar de dos ..."
Fue
Hipocrátes de Chios quien demostró que se podría conseguir la duplicación del
cubo siempre que se pudiera encontrar curvas que cumplieran a/x=x/y=y/2a; y
Menecmo halló dichas curvas como secciones (las secciones en aquellos tiempos
sólo se consideraban perpendiculares a la generatriz) de conos circulares
rectos (ortotoma), agudos (oxitoma) y obtusos (amblitoma). Pero es Apolonio de
Perga quien hace un tratamiento tan exhaustivo que desplaza a todos los
anteriores, y quien da una formulación definitiva.
Apolonio
les da su nombre definitivo Ellipsis (deficiencia), Hyperbola (avanzar más
allá) y Parábola (colocar al lado o comparar) que indicaba que no había
deficiencia ni exceso.
Apolonio
fue el primero en obtener todas las curvas a partir de las secciones del cono
recto, variando el ángulo de inclinación del plano con respecto al eje del cono
y "a partir del cono dedujo una propiedad plana fundamental, una condición
necesaria y suficiente para que un punto esté situado en la curva, y en ese
momento abandonó el cono y procedió a estudiar las cónicas por métodos
planimétricos exclusivamente..." y "consigue una de las mejores obras
de la matemática antigua".
Mientras
que Apolonio habia considerado tres tipos de curvas, Kepler prefería considerar
cinco tipos... A partir de un par de rectas que se cortan, en la que los focos
coinciden con el punto de intersección, podemos pasar gradualmente por un
conjunto infinito de hipérbolas, según uno de los focos va alejandose más y más
del otro. Cuando el segundo foco se haya alejado infinitamente, no tenemos ya
una hipérbola con sus dos ramas sino una parábola. Según el foco móvil traspasa
el punto del infinito y se va acercando de nuevo por el otro lado, vamos
pasando por un conjunto de elipses, hasta que cuando los focos coinciden
tenemos una circunferencia como último tipo de cónica. En 1609 enuncia Kepler
sus dos primeras leyes astronómicas, los planetas se mueven alreedor del Sol
sigueindo órbitas elípticas uno de cuyos focos es el Sol y el radio vector que
va del Sol a un planeta barre áreas iguales en tiempos iguales.
Descartes
sólo en un caso examina con detalle un lugar geométrico, y es en conexión con
el problema del lugar de las tres y cuatro rectas de Pappus del que obtiene
Descartes la ecuación y2=ay-bxy+cx-dx2. Ecuación general
de una cónica que pasa por el origen de coordenadas...", "..
Descartes presenta condiciones sobre los coeficientes para que la cónica sea
una recta, una parábola, una elipse o una hipérbola...", "...sabía
que eligiendo adecuadamente tanto el origen de coordenadas como los ejes, podía
reducirse la ecuación a la forma más sencilla, pero el hecho es que no da
ninguna de las formas canónicas."
Tras
la Geometría de Descartes publicada en francés y no en latín (la lengua
universal de la ciencia), Van Schooten la traduce al latín en 1649 y junto con
sus discipulos adquiere la geometría cartesiana un rápido desarrollo, Debeaune
en Notae breves demuestra que las ecuaciones y2=xy+bx, y2=-2dy+bx
e y2 =bx-x2, representan respectivamente hipérbolas,
parábolas y elipses. Pero es en 1658 cuando uno de los miembros del grupo de
Van Schooten, Jan de Witt reduce todas las ecuaciones de segundo grado en x e y
a formas canónicas, por medio de rotaciones y traslaciones de los ejes. De Witt
sabía cómo reconocer cuándo tal ecuación representaba una elipse, cuándo una
parábola y cuándo una hipérbola, según que el llamado discriminante fuera
negativo, nulo o positivo.
Circunferencia.
Se llama circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano que
equidistan de un punto fijo llamado centro
. El radio de la
circunferencia es la distancia de un punto cualquiera de dicha circunferencia
al centro .
Ecuación analítica de la circunferencia : Puesto que la distancia
entre el centro (a, b) y uno cualquiera de los puntos (x , y)de la
circunferencia es constante e igual al radio r tendremos que :
pasando la raíz al otro miembro :
desarrollando los términos cuadráticos obtenemos que :
si hacemos D = -2a , E = -2b , F = a2 + b2 - r2 tendremos :
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0.
Elipse.
La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de
distancias a dos puntos fijos es constante . Estos dos puntos fijos se
llaman focos de la elipse .
Ecuación analítica de la elipse : Supongamos para simplificar que los
focos están situados en los puntos F(c,0) y F'(-c,0) , tomemos un punto cualquiera
P(x , y) de la elipse y supongamos que la suma de las distancias entre PF y PF'
es igual a 2a , entonces tendremos que :
PF + PF' = 2a
elevando al cuadrado y uniendo términos semejantes obtenemos que :
(a2-c2)·x2 + a2y2 - (a2-c2)·a2 = 0
a partir del dibujo y aplicando Pitágoras podemos obtener que a2 = b2 + c2 (
piensa que cuando el punto P es (0,b) la hipotenusa debe medir a y el otro
cateto c ) y por lo tanto la ecuación se puede quedar :
b2x2 + a2y2 = a2b2
dividiendo entre a2b2 obtenemos que :
Si la elipse estuviese centrada en un punto cualquiera (p,q) la ecuación
debería de ser :
Si desarrollamos los cuadrados obtendremos que :
b2x2 + a2y2 - 2xpb2 - 2yqa2 + p2b2 +
q2a2 - a2b2 = 0
Si hacemos A = b2 , B = a2 , D = -2pb2 , E = -2qa2 , F = p2b2 + q2a2 - a2b2
tendremos la ecuación :
Ax2 + By2 + Dx + Ey + F = 0
donde podemos comprobar que es igual que la de la circunferencia excepto que
los términos A y B no tienen porqué ser iguales .
Hipérbola
Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias
entre dos puntos fijos es constante . Estos dos puntos fijos se llaman focos
de la hipérbola .
Ecuación analítica de la hipérbola : Supongamos para simplificar que
los focos están situados en los puntos F(c,0) y F'(-c,0) , tomemos un punto
cualquiera P(x , y) de la elipse y supongamos que la diferencia de las
distancias entre PF y PF' es igual a 2a , entonces tendremos que :
PF - PF' = 2ª
elevando al cuadrado y uniendo términos semejantes obtenemos que :
(
c2-a2)·x2 - a2y2 - (c2-a2)·a2 = 0
a partir del dibujo y aplicando Pitágoras podemos obtener que c2 = a2 + b2 y
por lo tanto la ecuación se puede quedar :
b2x2 - a2y2 = a2b2
dividiendo entre a2b2 obtenemos que :
Si la elipse estuviese centrada en un punto cualquiera (p,q) la ecuación
debería de ser :
Si desarrollamos los cuadrados obtendremos que :
b2x2 - a2y2 - 2xpb2 + 2yqa2 + p2b2 -
q2a2 - a2b2 = 0
Si hacemos A = b2 , B = -a2 , D = -2pb2 , E = 2qa2 , F = p2b2 - q2a2 - a2b2
tendremos la ecuación :
Ax2 - By2 + Dx + Ey + F = 0
donde podemos comprobar que es igual que la de la elipse excepto que los
términos A y B no son del mismo signo.
Parábola
La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que
equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz
.
Ecuación analítica de la parábola : Supongamos que el foco esté
situado en el punto (0,c) y la directriz es la recta y = -c (por lo tanto el
vértice está en su punto medio (0,0) ) , si tomamos un punto cualquiera P(x ,
y) de la parábola y un punto Q(x , -c) de la recta debe de cumplirse que :
PF = PQ
elevando al cuadrado :
x2 = 4cy
si la parábola no tiene su vértice en (0,0) si no en (p,q) entonces la
ecuación sería :
(x-p)2 = 4c(y-q)
desarrollando la ecuación tendremos :
x2 + p2 - 2xp - 4cy + 4cq = 0
si hacemos D = -2p , E = -4c , F = p2 + 4cq obtendremos que es :
x2 + Dx + Ey + F = 0
en la que podemos observar que falta el término de y2
Nota : como habrás observado el término xy no aparece nunca , esto es porque
hemos supuesto que los ejes de simetría de las cónicas son paralelos a los ejes
coordenados , en caso contrario aparecería este término , que como es lógico
dependerá del ángulo de inclinación de los ejes .
